Le modèle des urnes d'Ehrenfest

Ce modèle, parfois appelé modèle des chiens et des puces, est un modèle stochastique introduit en 1907 par le physicien autrichien Paul Ehrenfest et son épouse, la mathématicienne russe Tatiana Afanassieva.

L'objectif est d'illustrer certains des « paradoxes » apparus dans les fondements de la mécanique statistique, formalisée en 1902 par Willard Gibbs, dans la continuité des travaux de James Clerk Maxwell et de Ludwig Boltzmann.

Le modèle considère deux urnes (les chiens) A et B, et `N` boules (les puces), numérotées de `1` à `N` . On travaille en temps discret.

Initialement, les boules sont toutes dans l'urne A, et on applique le processus stochastique qui consiste à chaque instant à tirer un numéro `k` , compris entre `1` et `N` , et à changer d'urne la boule numéro `k` .

On suit alors la suite `n(t)` , qui compte le nombre de boules présentes dans l'urne A à chaque instant.

D'un point de vue macroscopique, pour `N` grand et un grand nombre de tirages, `n(t)` semble décroître et se stabiliser autour de `N/2` .

Une analyse plus fine montre des fluctuations autour de `N/2` , et on peut prouver qu'il existe toujours des récurrences à l'état initial, c'est-à-dire que toutes les boules reviennent dans l'urne A après une durée finie. Cependant, le temps moyen entre deux récurrences successives (attention, le mot récurrence correspond ici à la reproduction de l'état initial) croît très rapidement avec `N` , et on ne voit donc pas ces récurrences pour `N` très grand.

On résout ainsi le paradoxe levé par Zermelo, qui pointait la contradiction entre :

• le théorème de récurrence de Poincaré selon lequel un système dynamique repasse infiniment souvent par un état donné ;
  
• le théorème H de Boltzmann selon lequel un gaz relaxe vers un état d'équilibre.
  

En effet, Boltzmann estime que le temps de récurrence moyen est de l'ordre de  `10^N` , soit pour  \(N ≈ N_\text A\)  (avec  \(N_\text A=6,02 \cdot 10^{23}\)  le nombre d'Avogadro) une durée largement supérieure à l'âge de l'Univers.